केही दिनअघि कसैले फेसबुकमा एउटा तस्बिर पोस्ट गरेको थियो, जहाँ एकजना शिक्षकले ब्ल्याकबोर्डमा “२ + ० = २०” अनि “६ + ६ = ६६” लेखेर ससाना नानीहरूलाई पढाइरहेको दृश्य देखाइएको थियो। त्यसरी व्यक्तिगत विधि र नियमहरूले गणित (अनि गणितका अन्य विषयहरू) पढाइएमा देशका नानीहरू भविष्यमा गएर कस्ता प्रकारका नागरिकह बन्लान् भन्ने कल्पना गर्दा मात्र पनि डर लागेर आउँदो रहेछ । त्यही तस्बिर हेरेर धेरै महिनाअघि युट्युबमा हेरेको एउटा भिडियोको याद मेरो मस्तिष्कमा ताजा भएर आयो। त्यस भिडियोको शीर्षक ‘४ + १ = ४’ थियो। जहाँ एउटा गणित पढाउने शिक्षकले आफ्ना विद्यार्थीहरूलार्इ “४ + १ = ४” भनेर पढाउँछ साथै व्याख्याहरू दिएर बुझाउने कोसिस गर्छ।

‘४ + १ = ४’ लाई अंकगणितको सत्य वचन अथवा प्रस्तावको रूपमा पढाइसकेपछि शिक्षकले एक विद्मार्थीलाई चार योग एक बराबर कति (४ + १ = ?) भनेर प्रश्न गर्दा विद्यार्थीले पाँच (५) भनेर उत्तर दिन्छ। उत्तर सुनेर शिक्षक त्यस विद्यार्थीसित पूरा रिसाउँछ। विद्यार्थीले “४ + १ = ५” को सर्वमानित बौद्धिक (तार्किक) निष्पक्षता अनि व्यवहारिक वैधता आफ्नै प्रकारले बुझाउने कोसिस गर्छ तर शिक्षकले मानिलिन नै चाहँदैन। सबैले मानेका कुरा नै हो कि विद्यार्थीको तुलनामा विषय पढाउने शिक्षकको ज्ञान ज्यादै हुन्छ। विषय पढाउने शिक्षकलाई कक्षामा पढाइने बिषयको विशेषज्ञ (अधिकारी) मान्नैपर्ने हुन्छ। विश्वासबिना कति ज्ञानहरू आर्जन गर्न सकिँदैन। तर त्यसो भन्दैमा अन्धो विद्यार्थी (अनुयायी) पनि त बन्न सकिँदैन। जुन असत्य छ त्यसलाई वहिष्कार गर्न सक्नुपर्छ। त्यो एउटा ज्ञानी मानिसको गुण पनि हो। जहाँ शंका लाग्छ त्यहाँ प्रश्न गर्नुपर्छ किनकि प्रश्न नै ज्ञान प्राप्तिको पहिलो सिँढी हो। वास्तवमा त्यस विद्यार्थीको उत्तर प्रशंसनीय साथै प्रेरणात्मक छ।

कहिलेकाहीँ विद्यार्थीहरूले कति बुझेका रहेछन् भन्ने कुरा जान्नलाई शिक्षकहरूले यसरी गणितका कतिपय सम्भावित नियमहरूलाई वैकल्पिक तरिकाले प्रयोग गरेर असत्य (भूल) उत्तरलाई पनि सत्य (सही) देखाउन सक्छन्। कतिले चलाकी र कौशलताको प्रयोग गरेर असत्य वचनहरूलाई सत्य देखाउँछन्। तिनीहरू वास्तवमा सत्य हुँदैनन्। त्यस्ता वचनहरूलाई समय लगाएर राम्ररीसित अध्ययन गरेमा तिनीहरूका गणितीय सत्यता, वैधता र मान्यता सहजै खुट्याउन सकिन्छ। तर हाम्रो मनमा एउटा प्रश्न आउन सक्छ कि उनीहरू कसरी ती असत्य वचनहरूलाई सत्य देखाउन सक्षम हुन्छन्। त्यो चाहिँ उनीहरूले गणितका कतिपय मौलिक नियमहरूलाई गणितकै प्रक्रियाले तोडेर गर्नेगर्दछन्। तर वास्तवमा गणितका निश्चित अनि सर्वमानित मौलिक वचनहरूका (यहाँ “४ + १ = ५”) नियमहरूलाई तोड्न कदाचित् सकिँदैन। त्यो कसरी हुन्छ भनेर म संक्षिप्तमा तल कुरा गरिरहेको छु।

ईगम खालिङ

हाम्रो मनमा एउटा प्रश्न उठ्न सक्छ कि कसरी वचन (अथवा प्रस्ताव) “४ + १ = ४” अथवा “१ + ४ = ४” सठीक (सही) हुनसक्छ भनेर; कारण अङ्कगणितको प्रतीकात्मक वर्तमान प्रणालीमा यस प्रकारको वचनको निषेध स्व-विरोधाभासी हुन्छ। यसकारण वचन “४ + १ = ४” आफैँ-आफमा विरोधाभासी छ। यदि हामीले अंकगणितीय प्रतीकवादको नयाँ प्रणाली बनायौँ जसमा ४ लाई ‘४ + १’ को अर्को नाम हो भन्ने परिभाषित नियमको रूपमा मानिलिँन्छौ। यसरी यस प्रणालीमा ‘४ + १’ र ४ का मूल्य समान बन्दछ। एउटा प्रतीकात्मक तार्किक वचनजस्तो मात्र बन्दछ। जसको वैधता तार्किक प्रणालीअन्तर्गत मात्रै सीमित रहन्छ। त्यसलाई अङ्कगणितका अन्य वचनहरूलाई जस्तो भौतिक संसारका वस्तुहरूसित प्रयोग गर्न सकिँदैन। त्यसको विश्लेषणात्मक अनुसरण पनि हुनसक्दैन । कारण, अङ्कगणितका नियमहरूअनुसार प्रस्तुत वचन “४ + १ = ४” आफैँमा विरोधाभासी अनि गलत छ।

हामी प्राथमिक कक्षाको उदाहरण लिन सक्छौँ। कुनै एउटा नानीले १० सम्मका अङ्कहरू (संख्याहरू) मात्र सिकेको छ भने उसलाई ११ र १२ के हुन् र कसरी हुन्छन् भन्ने थाहा हुँदैन। उसलाई सिकाउनुपर्ने हुन्छ कि अङ्क ११ वास्तवमा १० देखि माथिको अर्को एउटा ‘अङ्कहरूको एकाइ’-को नाम हो भन्ने । १० (दश) (+) योग १ (एक) को अर्को नाम ‘एघार’ हो। त्यसरी नै ११ (एघार) योग (+) १ (एक) को अर्को नाम ‘बाह्र’ हो। यसलाई हामी भौतिक वस्तुहरू (चकलेट, पेन्सिल आदि) प्रयोग गरेर पनि सिकाउन सक्छौँ। यसको मतलब यो हुन्छ कि ‘४ + १’ विश्लेषण गरेर कहिल्यै पनि ४ पाइँदैन साथै ५ पनि पाइँदैन कारण ५ चाहिँ ‘४ + १’ को संश्लेषणात्मक एकाइ हो। बरू ५ वटा चकलेटहरू लिएर ४ र १ लाई अलगै राखेर सबैलाई गन्ती गरेमा जम्मा ५ वटा चकलेटहरू पाइन्छ तर ४ र १ लाई जति नै विश्लेषण गरे तापनि तिनीहरूभित्र ५ पाइँदैन तर ५ चकलेटहरूभित्र ४ र १ पाइन्छ। फेरि जम्मा ४ वटा चकलेटहरूबाट कुनै पनि संश्लेषण अनि विश्लेषण विधिले ४ र १ चकलेटहरु पाइँदैन । त्यसैले संश्लेषणबिना विश्लेषण सम्भव हुँदैन। वास्तवमा अङ्कगणितका अङ्क अनि प्रतीक चिन्हहरूले यथार्थका (जगतका) वस्तुहरूलाई प्रतिनिधित्व गर्दछन्। यसैकारण अङ्कगणितमा प्रतीकात्मक प्रणाली संरचना गर्नुभनेको यस्तै प्रकारका सङ्केतहरूलाई अथवा प्रतिनिधित्व गर्ने प्रतीकहरूलाई संश्लेषित गर्नु पनि हो। तर यसको अर्थ यो होइन कि त्यो उल्लेखित भिडियोमा देखाइको वचन “ ४ + १ = ४” लाई अङ्कगणितको सत्य सूत्र मान्न सकिन्छ। यदि मानिन्छ भने अङ्गणितको सूत्र नभएर प्रतिकात्मक तर्कशास्त्रको पुनरूक्तिको प्रयोग मान्नुपर्छ।

वचन “४ + १ = ५” अनिवार्य, सार्वभौम (सर्वमान्य) अनि वस्तुगत वैधता हुन्छ। यहाँ ‘अनिवार्य’ भन्नाले शुद्ध विवेकबाट आर्जित बौद्धिक वस्तुको सत्ता बुझिन्छ जसको विपरीत असम्भव हुन्छ। जस्तै: “४ + १ =” को परिणाम ५ बाहेक अरू कुनै विपरीत सम्भव नै छैन। कुनै पनि स्थितिमा त्यो “४ + १ = ४” अथवा “४ + १ = ६” हुनै सक्दैन। यदि अङ्गणितको नियम तोडेर गणितको कुनै पनि विशेष परिभाषित क्षेत्रमा सम्भव भए तापनि त्यो अनिवार्य, सार्वभौम अनि वस्तुगत वैधताको स्तरमा हुनसक्दैन। “४ + १ = ५” को अनिवार्य विश्वैभरि समानरूपमा मान्य हुन्छ। भारतमा मानिलिएको “४ + १ = ५” जपानमा गएर “४ + १ = ४” हुनसक्दैन, फेरि त्यसरी नै अमेरिकामा गएर “ ४ + १ = ६” हुनसक्दैन। त्यसैले “४ + १ = ५” को अनिवार्यको मान्यता सार्वभौम हुन्छ । त्यस्ता अनिवार्य अनि सार्वभौमको स्रोत हाम्रो मस्तिष्कको शुद्ध विवेकमा (बुद्धिमा) पाउँदछौँ। त्यस्ता अनिवार्य अनि सार्वभौम वचनहरूलाई भौतिक वस्तुहरूसित प्रयोग गर्न सकिन्छ। जब त्यस्ता वचनहरूलाई व्यवहारिकतामा (यथार्थमा) प्रयोग गरिँदा वस्तुगत वैधता सही पाइएमा साँचो वचनहरू (प्रस्तावहरू) मान्न सकिन्छ। उदाहरणको निम्ति दाहिने हातमा दुइटा अनि देब्रे हातमा अर्को दुइटा चकलेटहरू लिएर दुवै हातहरूका चकलेटहरूलाई मिसाएर (जोडेर) टेबलमा राखी गन्ती गर्यौ भने जम्मा (कुल) चारवटा चकलेटहरू पाइन्छ। फेरि ती चकलेटहरूलाई दुई भाग गरेर एक-एक हातमा लियौँ भने एउटा हातमा दुइटा चकलेटहरू अनि अर्को हातमा पनि दुइटा चकलेटहरू पाउँछौँ। यसरी अङ्गणितको यस्तो वचन “४ + १ = ५” का व्यवहारिक अर्थ र मूल्यहरू अङ्कहरूको (यहाँ ४, १ अनि ५) मात्र नभएर प्रतीकहरूका (यहाँ + अनि =) पनि परिचलन (सञ्चालन) अर्थ र मूल्यहरू हुन्छन्।

माथिका विश्लेषणहरूबाट के बुझिन्छ भने गणितका मौलिक वचन अनि सूत्रहरूका नियमहरूलाई तोडेर अन्य मौलिक वचन र सूत्रहरू निर्माण गर्न सकिँदैन। त्यस्तै प्रकारले अङ्कगणितको प्रतीकात्मक प्रणालीअनुसार “२ + २ = २” अनि “४ + १ = ४” जस्ता वचनहरूलाई मौलिक अनि साँचो वचनहरू मान्न सकिँदैन। त्यसरी नै “२ + ० = २०” अनि “६ + ६ = ६६” जस्ता वचनहरू त झन पूर्णरूपले गलत अनि वहिष्कृत वचनहरू हुन्।

दार्जीलिङ, भारत